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Für die folgenden Überlegungen benötigen wir das Teilchenbild der elektromagnetischen Strahlung. Photonen, wie man die Lichtteilchen nennt,
haben die Energie E = hf, wobei f die Frequenz der Strahlung und h = 6,625 10-34 Js das Planksche Wirkungsquantum ist. Die Masse eines Photons ergibt sich aus m = E / c2 = hf/c
2.
Versuch: Ein Schwingkreis ist im Tal und ein Schwingkreis ist auf dem berg aufgestellt. Der Empfänger befindet sich auf halber Höhe zwischen den beiden Schwingkreisen. Photonen, die der Sender im Tal ausstrahlt, müssen den berg hinaufsteigen. Dazu benötigen sie Energie, die sie ihrer Photonenenergie mit E = hf entnehmen. Beim Empfänger angekommen, ist daher die Photonenenergie kleiner und mit E = hf auch die Frequenz der Radiowelle. Für die Photonen, die der Sender auf dem berg ausendet, sind die Verhältnisse genau umgekehrt. Demnach treffen beim Empfänger zwei Radiowellen mit verschiedener Frequenz ein. Die Frequenz der von oben kommender Radiowelle ist größer als die Frequenz der von unten kommenden Welle.
Befindet sich der Empfänger in der Höhe H´, so ist die Photonenenergie der aufsteigenden Photonen um ¥ ETal
= mgH´ kleiner, wenn sie beim Empfänger ankommen; m ist die Masse eines Photons und g = 9,8 m/s² ist die Erdbeschleunigung. Die Energie E = mgH ist die potentielle Energie eines Körpers im Schwerefeld der
Erde. Die Photonen, die von der Höhe H des Berges hinabfallen, gewinnen den Energiebetrag kleiner und ¥ EBerg = mg (H – H´).
Beim Empfänger angekommen, unterscheidet sich die Energie der beiden Photonen um
¥ E = ¥ EBerg + ¥ ETal = mg (H – H´) + mgH´= mgH
Für den Frequenzunterschied ¥ f der beiden Wellen folgt aus der Gleichung E = hf
¥ E = h ¥ f.
Lösen wir diese Gleichung nach um ¥ f auf und setzen ¥ El = mgH ein, so ergibt sich
¥ f = ¥ E/h = mgH/h
Dieser Frequenzunterschied ist unabhängig von der Höhe H´, in der sich der Empfänger befindet. Die
Photonenmasse m ersetzen wir mit Hilfe der Gleichung m = E/c² = hf /c² und erhalten
¥ f = gH/c² f.
Eine Uhr, deren Uhrwerk mit der Frequenz f geht, hat in der Höhe H um eine ¥ f höhere Frequenz f. Die Zeitanzeige t der Uhr ist proportional zu ihrer
Frequenz f. Die
Abweichung in der Zeitanzeige ¥ t ist daher auch proportional zur Frequenzänderung ¥ f .Es gilt ¥ f/f = ¥ t/t.
Damit folgt aus obiger Gleichung ¥ tg = (gH/c²)t.
Nach der Zeit t geht eine Uhr in der Höhe H um die Zeit
¥ tg = (gH/c²)t
vor im Vergleich zu einer Uhr auf dem Boden.
Der Gang einer Uhr hängt also nicht allein von ihrer Bewegung ab, sondern auch von dem Gravitationsfeld, in dem sie sich befindet.
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